計算科学をはじめよう! ニュートンの冷却法則①

この記事では、1階微分方程式の解を数値的に求める方法を紹介してきます。

今回は微分方程式の解析解を求めて、次回以降に解を数値的に求める方法を紹介する予定です。

ニュートンの冷却の法則

コップに入れられた熱いコーヒーが周囲の温度(空気)によって冷まされる問題を考えます。本来、熱いコーヒーから周囲の空気に流れる熱流の性質は複雑です。例えば、対流や放射、蒸発、熱電などの機構が働いています。ただし、コーヒーと周囲の温度差があまり大きくないときには、温度の変化の割合は、その温度差に比例します。これは「ニュートンの冷却の法則」と呼ばれていますが、あくまで近似的に成り立つ式です。

微分方程式の解析解

ここでは微分方程式の解析解を求めてみます。

ニュートンの冷却の法則を表す微分方程式は

 \cfrac{dT}{dt} = -\gamma \left(T - T_s \right)\hspace{20} \cdots (1)

で表されます。ここで、各文字は

T:湯の温度

T_s:周囲の温度

\gamma:冷却定数

を表しています。この微分法方程式は解析的に解くことができます。まず、(1)式の両辺をT-T_sで割ります。

  \cfrac{1}{T-T_s}dT = -\gamma dt

両辺を積分して積分定数をCとすると、

  \log (T - T_s) = -\gamma t + C

となります。この式をTについて解くと下式のようになります。

  T = T_s + e^{-\gamma t + C}\hspace{20} \cdots (2)

初期条件T(0)=T_0を課すと、積分定数Cは

  C = \log (T_0-T_s)

となります。これを(2)式に代入すれば、解析解は以下で与えられます。

  T(t) = T_s + (T_0 - T_s) e^{-\gamma t

次回は、微分方程式の数値解を求めるアルゴリズムを紹介します!

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